Hareket Denklemleri - Ders 1 Giriş

GİRİŞ VE DOĞRUSAL HAREKET KİNEMATİĞİ

Bugünkü Konular:

Bir doğru boyunca hareket eden maddesel noktanın kinematik bilesenlerinin (konum, aldığı yol, hız ve ivme) belirlenmesi.
Doğrusal Hareket

Bu amaçla yapılacaklar:

  • Genel bir hareket için yol, hız ve ivme değerleri arasındaki bağıntıların (iliskinin) belirlenmesi.
  • İvmenin sabit olduğu durumda yol,hız ve ivme değerleri arasındaki iliskilerin belirlenmesi

Uygulamalar

Uçaklar, arabalar, gemiler, roketler vb. büyük cisimlerin hareketleri incelenirken genellikle bu cisimler yerine tek bir maddesel nokta ele alınarak analizler yapılır.

Neden ?
Eğer bir roketin yerden yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak biliyorsak, bu roketin hızını ve ivmesini hesaplayabilir miyiz?


Doğrusal Hareket
Trenler genis bir ray boyunca hareket ederler. Bu treni bir nokta gibi ele alabilirmiyiz?
Eğer bu trenin ivmesi belirli bir oranda değisiyorsa, trenin herhangi bir andaki pozisyonunu ve hızını bulabilirmiyiz?

Mekaniğe Genel Bakış

Mekanik: Cisimlerin üzerlerine etkiyen yüklere gösterdikleri tepkileri inceler

Statik:

Dinamik:
1. Cisimlerin denge durumunu inceler (hareket yok) 1. Kinematik – Hareketin geometrisi ile ilgilidir.
2. Kinetik - Harekete sebep olan kuvvetler ile ilgilidir.

Konum ve Yer Değiştirme

Doğrusal Hareket Maddesel nokta bir doğru üzerinde hareket ediyor.
Bu doğrultu s aksı olarak adlandırılabilir.
Doğrusal Hareket Herhangi bir anda noktanın baslangıç noktası O’ya göre pozisyonu, konum vektörü (yer vektörü) r veya skaler büyüklük s ile ifade edilir. s negatif veya pozitif olabilir
Bir noktanın yer değistirmesi noktanın pozisyonundaki değisiklik olarak tanımlanır.
Vektörel olarak: Δr = r’ - r Skaler olarak: Δs = s’ - s
Noktanın kat ettiği toplam yol ST pozitif skaler bir büyüklüktür.
Noktanın doğrusal olarak kat ettiği toplam yolu ifade etmektedir bu değerde her zaman pozitiftir.

Hız

Hız, bir noktanın konum değistirme oranının ölçüsüdür.
Hız vektörel (siddeti ve doğrultusu olan) bir büyüklüktür.
Siddetinin birimi m/sn veya ft/sn’dir.
Doğrusal Hareket Bir noktanın Dt zaman aralığındaki ortalama hızı
Vort = Δr/Δt
Ani hız değeri ise yer vektörünün zamana göre türevi ile ifade edilir.
Doğrusal Hareket v = dr/dt
Hızın herhangi bir t anındaki büyüklüğü v = ds/dt ile hesaplanabilir.
Vort = Δr/Δt
Ortalama Hızın büyüklüğü ise toplam yolun toplam zamana oranıdır
(Vsp)avg = ST/ Δt

İvme

İvme maddesel noktanın hız değistirme oranıdır. Yani birim zamandaki hız değisim miktarıdır. İvme vektörel bir büyüklüktür. Birimi m/s2 dir.
Doğrusal Hareket Ani ivme hızın zamana göre türevi ile bulunur.
Vektörel olarak : a= dv/dt
Doğrusal Hareket Skaler olarak: a = dv/dt = d2s/dt2
İvme pozitif (cisim hızlanıyorsa) veya negatif (cisim yavaslıyorsa) olabilir.
Değisken değistirme yöntemi kullanılarak hız ve ivme değeri için asağıdaki ifade elde edilebilir

a = dvdt * dsds → a ds = dsdt dv → a ds = v dv

Doğrusal Hareket

  • Hız ve ivme değerleri için türev ifadeleri
      v = ds/dt ; a = dv/dt veya a = v dv/ds

  •   Hız;
    	v      t         v        s           s     t
    	dv = a dt   v dv = a ds     ds =v dt
    	vo     o        vo        so          so     o
    
    
  • So ve Vo ifadeleri noktanın t = 0 yani baslangıç anındaki hız ve yol değerleridir.

Sabit İvme

İvmenin sabit olması (a = ac) durumunda biraz önce yazılan kinematik denklemler oldukça kolay hale gelmektedir.
Dinamik problemlerin pek çoğunda da ivme değeri olarak yerçekimi ivmesi kullanılmaktadır.
Mesela serbest düsme problemlerinde ivme değeri, ac = g = 9.81 m/s2 olarak kullanılmaktadır.
Bu durumda denklemler.
	v      t
	dv = ac dt 		v = vo + act
       So      o

	s      t
	ds = v dt 		S = So + Vot + (12)act2
       So      o

	   v        t
	v dv = ac ds 	v2 = vo2 + 2ac(s-so)
       So      o

	   

Örnek

Verilenler: Düz bir yolda 27m/sn hızla hareket etmekte olan bir motosiklet, fren yaparak a = -6t m/s2 ‘lik ivme değeri ile yavaslamaktadır.

İstenenler:Motosikletin duruncaya kadar kat ettiği yolu bulunuz.

Çözüm:Motosikletin yol aldığı doğrultuyu s için pozitif yön olarak kabul ederiz.
İvme zamanın bir fonksiyonu olarak verilmistir.
Bu yüzden bu ifadenin integralini alarak hız ve yol değerlerini elde edebiliriz.

Örnek Çözüm

Cevap:

1) İvme ifadesinin integrali alınarak hız ifadesi bulunur.
                                     v      t
	a = dv/dtdv = a dt → ∫dv = (-6t)dt  v - vo = -3t2 v = -3t2 + vo
                                    vo     o
2) Motosikletin durması için (v = 0), geçen zamanı hesaplayalım, ilk hız vo = 27 m/s.

    0 = -3t2 + 27 => t = 3 s

3) Şimdi de 3 sn boyunca cismin aldığı yolu bulmak için hız ifadesini integre edelim (so = 0):
                                     v      t
	v = ds/dtds = v dt → ∫ds = (-3t2+vo)dt
                                    vo     o
		 s - so = -t3 + vot  s - 0 = (3)2 + (27)(3)  s = 54m


Özel Quiz

		3 m/s					5 m/s
		 →		←

---------------------------------
		t=2sn					t=7sn
1) Bir doğru üzerinde hareket eden sekildeki cismin farklı zamanlardaki ivme değerleri sekilde verilmistir.
Buna göre bu cismin ortalama ivme değeri _________’dir.
		A) 0.4 m/s2			B) 0.4 m/s2

		C) 1.6 m/s2			D) 1.6 m/s2

2) Bu cismin baslangıçtaki hızı sola doğru 30 m/s’dir. Cisim 5 sn sonra baslangıç noktasından sağa doğru 50 m/s hızla geçtiğine göre,
bu 5 sn’lik zaman diliminde cismin ortalama hızı _______’dir.
		A) 10 m/s			B) 40 m/s
		C) 16 m/s			D)  0 m/s

Çözümlü Problemler

Doğrusal Hareket Verilenler:Çatıdaki A noktasından serbest bırakılan bir topal aynı anda yerden 1.5 m yükseklikteki B noktasından yukarıya doğru bir top atılmaktadır. Bu iki top yerden 6 metre yükseklikte karsılasmaktadır.

İstenen: Yukarıya doğru atılan B topunun ilk hızı nedir?

Plan:>Her iki top içinde ivme değeri asağıya doğru 9.81 m/s2.
Bu durumda sabit ivme için yazılan denklemler kullanılabilir, ac = -9.81 m/s2.
Çözüm:

1) A topunun hareketi:

Başlangıç durumunda cismin ilk hızı yok ((vA)o = 0) ve konumu için yer düzlemini kıyas düzlemi olarak alalım yani (SA )o = 12 m).
Cismin 6 m (SA = 6 m) durumuna gelinceye kadar aldığı zaman hesaplanmak istenirse.

SA = (SA )o + (vA)ot + (1/2)act2
6 m = 12 m + (0)(t) + (1/2)(-9.81)(t2) => t = 1.106 s

1) B topunun hareketi:

Cismin baslangıçtaki konumu yerden 1.5 metre yukarıdadır
((sB)o = 1.5 m). 6 m (sB = 6 m) yukarıya çıkması için geçen zaman A cisminin o noktaya gelinceye kadar geçen zamanı ile aynıdır
(t = 1.106 s). B topunun konumu için t = 1.106s değeri kullanılırsa:

SB = (SB)o + (vB)ot + (1/2) ac t2

6 m = 1.5 + (vB)o(1.106) + (1/2)(-9.81)(1.106)2 => (vB)o = 9.49 m/s

Test



1) Bir maddesel noktanın baslangıç hızı sola doğru 3 m/s ve baslangıç konumu so = 0 m’dir.
İvme değerinin sağa doğru a= 2 m/s2 olduğu bilindiğine göre t = 3 s sonra bu noktanın aldığı yolu bulunuz.
		A) 0.0 m			B) 6.0   
		C) 18.0 m 			D) 9.0 m 

2) Bir cisim baslangıç hızı vo = 12 m/s ve sabit 3.78 m/s2 ivme ile hareket etmektedir.
Baslangıç noktasına göre kaç metre sonra cismin hızı 30 m/s olacaktır ?

		A) 50 m			B) 100 m
		
		C) 150 m		D)  200 m
Valid XHTML 1.0 Strict
--------------------------------
Çoğul Ziyaret: 87135
--------------------------------
Bugün Tekil: 55
--------------------------------
IP: 54.227.41.242
--------------------------------
Hareket Denklemleri - Ders 1 Giriş ~ Dinamik Ders Notları ~ Makara Sistemleri - Ders 4 ~ Newton Kanunları - Ders 7 ~ Potansiyel Enerji ve Enerjinin Korunumu - Ders 10 ~ Örnek Banner ~ Görkem EJDER ~ 3 Boyutlu (3D) Görüntü Nedir, Nasıl Oluşur ~ Ejder Nedir? Ejderlerin Tarihi ~ Linux komut satırından dosya içindeki kelimeyi bulup değiştirmek ~ DTS 5.1 Müzik Arşivi ~ Twitter için çalışan DNS ~ SSH Tunnel ile proxy kullanımı ve veri şifreleme ~ ~